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PROPOSITION VIII.

6

Theorême. 6. Les choses demeurant dans le même état que dans la Proposition precedente. Je dis que la foutangente PT eft double de l'abscisse AP, comprise entre le fummet A & lordonnée PM qui part du point touchant M.

Ayant nommé comme dans la premiere Proposition les données AF, ou AD;a; P2(no. 5.) 22 ; & les variables AP ,x; PM,y; PT ,t. Il faut prouver que t = 2x.

DE'MONSTRATION. 'A NGL E FOT étant (Prop. 6) droit, l'angle QMT ( no. 4 ) sera aussi droit ; c'est pourquoi ża (OP). y (PM):y.t(PT); donc zat=yy: Mais (Prop. I ) 4&x=yy; donc zat = 4ax ; & partant t = 2x C. b. F. D.

7. Cette Proposition fournit un moyen aisé de mener une tangente à la parabole; car fi d'un point quelconque M, on mene l'ordonnée MP perpendiculaire à l'axe AP; ayant

fait AT = AP,la ligne MT sera la tangente cherchée. PROPOSITION IX.

Theorême. 8. NE Parabole AM dont AP est l'axe; A , le fom. met ; F, le foyer ;D, le point generateur ; DE, la ligne generatrice. Si par un point quelconque M pris sur la parabole s on mene ( no 7) la tangente MT, & par quelqu'autre point L, la ligne LG parallele à la tangente Mt. Je dis que la ligne MR menée par le point touchant M parallele à l'axe AP, coupera GL par le milieu en O.

Ayant mené par les points L, M,0,&G. Les lignes BZI qui rencontre MR prolongée en I, MP,00,

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& GRS perpendiculaires à l'axe AP , & nommé AF, ou AD, a; le parametre de l'axe sera ( Art. 10 ) 48 = 4AF; AP , *; PM, ou BI, ou SR, y ; AC, m; BC, ou 10,S; CS, ou OR , 2; AB sera , m - Si AS, m-toq; CP, ou OM, M - *; & PT ( no 6), 2x.

Il faut prouver que OG =OL, ou ce qui revient au même OR=OI, ou/=4

DE'MONSTRATION.
Les triangles semblables ( Const.)TPM,ORG,017,
donnent les deux Analogies suivantes.

TP(2x). PM,(y) :: OR().RG=94, &
TP (2x).PM(y):: 011/). Il=; donc so

IS
=y+9?, & BL = : mais (Art. 10 n° 8)

*(AP).m+ (AS) ::yy ( PM"). yy + 2yy2 + yyck

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2X

y

2x

2x

4xx

( SGP ).& x(AP).m=LI AB ) :: yy (.PM”). yy
2yys + wl( BL2), d'où l'on tire ces deux équations

4**
A. myy + yyz = xyy + 2xyyz + xyy2z, &

2X

4XX

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4xx

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B. myy yy=xyy — 2xyys + xyyl, & ôtant le pre-
mier membre de la seconde équation B du premier meme
bre de la premiere A, & le second de la seconde du se.
cond de la premiere , l'on a yyz+yys=2xyyx+ 2xy)
+ xYu2? xvysl, d'où l'on l'on tire z=s, ou OR=

4xx
OI ; donc OL=0G. C. Q. F. D.

Il peut arriver differens cas: car le point Os'éloignant de M, le point I tombera en A , ou de l'autre côté de A par rapport à M: mais l'on prouvera toujours de

la

la même maniere que q=1,0G=OL; c'est pourquoi la Proposition est generalement vraye.

DE'FINITIONS. 9. L a ligne MR parallele à l'axe AP est appellée diametre , parcequ'elle coupe toutes les GL par le milieu en 0 ; le point M, le sommet du diametre MR ; MO, l'abscisse , ou coupée ; OL, ou OG , l'ordonnée, ou l'appliquée à ce diametre.

PROPOSITION X.

Theorême. 1o. E n fuppofuint les mêmes choses que dans la Proposition precedente. Je dis que le quarré d'une ordonnée quelconque OL, ou OG au diametre MR, est égal au rectangle de l'abscisse MO par 4MF, ou ( Art. 10. no. 2. ), ayant prolongé OM en H, par 4MH.

Ayant nommé l'abscisse MO, t; l'ordonnée OL, ou OG, u; MF, ou MH,b; & les autres lignes comme dans la Proposition precedente. Il faut prouver que 4bt=uu,( 4MF ~ MO=OG?).

DE'MONSTRATION. Si l'on ajoute les deux premiers & les deux seconds membres des deux equations A & B de la Proposition precedente, aprés avoir mis z en la place de si puisque

2xyy 22, (Prop. preced.) <=/; l'on aura zmyy=2xyy + ou 2.54mx

4xx, ou z = 41x, en mettant t pour m - x=PC=MO: mais le triangle rectangle ORG, ou OIL donne (OR) +

yy 22

( RGʻ. Prop. preced.) —uu ( OG’, ou OL”), qui devient 4tx + 4at=un en mettant pour 2

fa valeur (Prop. 1 ) 4ax : mais x + a=PD=MF= MH=b;

M

4.**

4.2.2

sa valeur 4tx ,

&

pour yy

donc en substituant b en la place de x+ a dans l'é. quation precedente, elle deviendra 4bt =uu, ou 4MF * MO=OGʻ. C.Q. F. D.

DEFINITION. L A ligne égale à 46= 4MF=4MH est nommée le parametre du diametre MO.

II.

PROPOSITION XI.

I 2.

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Problême. 2. U N E équation à la parabole ( ax=yy ) dont les coordonnées x & y ne font point perpendiculaires , étant donnée , décrire la parabole. Soit M le fommet du diametre MO, dont le

parametre eft a , & l'origine des variables x, qui va vers 0, & y qui va vers K en faisant avec MO l'angle oblique OMK. Il faut décrire par M la parabole ZMG dont l'équation est ax =yy.

Ayant prolongé OM & pris MH=a= ( Prop. preced.) au quart du parametre du diametre MO, on menera par i la droite HE perpendiculaire à HO, qui sera | Prop. preced. ) la ligne generatrice ; & ayant fait l'angle KMF= l'angle KMH, pris MF= MH & mené par F la ligne FD parallele à MO qui coupera la generatrice HE en D. Par la Proposition precedente , & par la sixième , F sera le foyer ; FD, l'axe ; D le point generateur , & A milieu de FD le som met de l'axe de la parabole qu'il faut décrire. On la décrira par la premiere Proposition.

DEMONSTRATION. LL E est claire par la Proposition precedente , & par la sixiéme.

S E C TI O N V I.

l'on démontre les principales proprietez,
de l'Ellipse décrite par des points

trouvez sur un Plan.
PROPOSITION I.

Theorême.

U

XII. N E ligne droite AB , divisée par le milieu en C, F16.54.

& deux points fixes F, G également distans du milieu C, ou des extremitez A e B, étant donnée de grandeur en de position ; si l'on prend entre F & G un point quelconque H, &

que

du centre F & du rayon AH; du centre Gedu rayon BH, Pon décrive deux cercles ; ces deux cercles se couperont en deux points M, m de part & d'autre de la ligne AB ; puisque leurs demidiametres surpassent FH + HG. Et je dis que les points M &m, & tous ceux qui seront trokvez de la même maniere , en prenant d'autres points H, fcront à une Ellipse dont C est le centre, AB le grand axe , DE l'axe conjugué à l'axe AB,qui est double de la moyenne proportionnelle entre AF e FB, ou AG GB.

DEMONSTRATION. D'un des points M, trouvez comme on vient de dire, ayant abbaissé la perpendiculaire MP, mené FM & GM,& nommé les données AC , ou CB ,a ; FC, ou CG, 6; & les indéterminées CP , *; PM,); AP sera, a - *; PB,a+x; FP,C- x ou, * -(;& PG,6+ *.

Il est clair par la description que FM + MG= AB =la; puisque FM = AH, & MG HB;nommant donc la différence de FM, & MG,2/; FM sera, a ---S & MG, a + . Cela posé.

Mij

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