des trois quarts du travail qu'il faudroit prendre en fe fervant des Tables ordinaires des Sinus.

Remarquez auffi, que fi le Triangle propofé avoit deux côtez égaux, fans tant de circuit, ni de détour, il ne faudroit qu'abaiffer un arc perpendiculaire fur la bafe, laquelle feroit divifée en deux également, & le Triangle en deux Triangles rectangles, qui auroient chacun un angle & deux côtez connus; enfuite de quoi on trouvera aisément le refte par les Coroll. du 13. & 14. Theorêmes. Et premierement on trouveroit l'angle oppofé à la moitié de la bafe par le 3. Coroll. du 14. Theor. Puis l'on trouveroit la perpendiculaire que l'on auroit abaiffée par le 1. Coroll. du 13. Theor. en là prenant pour la bafe de fon Triangle ; & enfin l'on trouveroit le troifiéme angle par le 2. Coroll. du 13. Theor.

THE OREME XVII.

Si des angles d'un Triangle Spherique, comme poles on décrit trais grands Cercles; ils formeront en s'entrecoupant un autre Triangle Spherique, dont les côtez feront égaux aux fupplémens des angles, & reciproquement les angles aux fupplémens des côtez du Triangle propose.

Fig.19. Q

U'ABC foit le Triangle Spherique propofé, maintenant fi du point A comme pole, l'on décrit le grand Cercle LGEM, & du point B le grand Cercle HDEFPQ; & enfin du point C auffi comme pole, le grand Cercle HXGFNO, il fe formera le Triangle HGE; cela étant, je dis premierement que les côtez du Triangle HGE, font égaux aux fupplémens des angles du Triangle

Puifque l'arc AB paffe par les poles des deux Cercles GE, HE, reciproquement ces deux Cercles pafferont par le pole de l'arc AB; & partant le point E, qui eft le point de leur commune fection, fera le pole de l'arc AB. De même puifque l'arc BC paffe par les poles des deux Cercles HEF, HGF, reciproquement ces deux Cercles pafferont par le pole de l'arc BC: & partant le point F qui eft le point de leur commune fection, fera le pole de l'arc BC. Enfin puifque l'arc AC paffe par les poles des deux Cercles GE, GH, & reciproquement ces deux pafferont par le pole de l'arc AC; & partant le point G qui eft le point de leur commune fection, fera le pole de l'arc AC. D'où il s'enfuit que les arcs AR, AM, AI, AL; BD, BP, BQ, BZ; CX, CN, CT, CO, font des quarts de Cercles; & de même que les arcs ER, EM, ED, EP; FQ, FZ, FT, FO; GI, GL, GN, GX, font auffi des quarts de Cercles, qui font égaux entr'eux & aux précedens. Puis donc que les deux quarts de Cercles GN & FO font égaux entr'eux, fi l'on en ôte la partie commune FN, reftera l'arc GF égal à l'arc NO; Mais cet arc NO eft la mesure de l'angle NCO, ou de fon égal ACB; & partant l'arc GF eft auffi la mesure de l'angle ACB, & lui eft égal; mais GH eft le complement au demi Cercle de l'arc GF, il fera donc auffi le fupplément de l'angle ACB.

De même fi des deux quarts de Cercles FQ, PE, l'on retranche la partie commune FP, reftera l'arc QP, égal à l'arc FE; mais l'arc QP eft égal on eft la mesure de l'angle QBP, ou de fon égal ABC; & partant l'arc FE fera auffi égal à l'angle ABC; & par confequent EH complement au demi Cercle de l'arc FE, ce fera auffi de l'angle

Enfin fi aux deux quarts de Cercles GI, EM, l'on ajoûte l'arc commun IE, l'arc GE fera égal à l'arc IM; mais l'arc IM eft égal à l'angle IAM, Figs. dont il eft la mefure; & partant l'arc GE eft auffi égal à l'angle IAM, ou au complement de l'angle BAC. C. Q. F. premierement D.

Fig.39.

Secondement, je dis que les angles du Triangle HGE, font égaux aux fupplémens des côtez du Triangle ABC; pour le prouver.

Si des deux quarts de Cercles AI & CN, l'on ôte l'arc commun CI, il reftera l'arc AC, égal à l'arc IN; mais l'arc IN eft égal, ou eft la mesure de l'angle NGI, par confequent le côté AC eft auffi égal à l'angle NGI: d'où il fuit que l'angle HGE, qui eft le complement à deux droits, ou au demi Cercle de l'angle NGI, eft égal au complement du

côté AC.

De même, fi des deux quarts de Cercle AR & BP, l'on ôte la partie commune BR, il reftera l'arc AB égal à l'arc RP; mais l'arc RP eft égal, où eft la mesure de l'angle PER; par confequent le côté AB eft auffi égal à l'angle PER; d'où il fuit que le fupplément de l'angle PER, à fçavoir GEH, eft égal au fupplément du côté AB.

Enfin fi des deux quarts de Cercles BZ & CO, l'on ôte lapartie commune CZ, il restera l'arc BC égal à l'arc ZO; mais l'arc ZO eft égal à l'angle ZFO; d'où il fuit auffi que le complement de l'angle ZFO, à fçavoir ZFG, ou fon égal EHG, eft égal au complement du côté BC. C. Q. F. D.

COROLLA IR E.

Il fuit de cette Propofition que les trois angles d'un Triangle Spherique étant connus, par exemple ceux du Triangle ABC, l'on trouvera les trois

Pour cela, il ne faut qu'à l'entour du Triangle propofé décrire ou imaginer un autre Triangle, comme DEF, & qui donne au côté la quantité du fuplément de l'angle C,& au côté EF celle du fupplément de l'angle A, & enfin au côté DF le fupplément de l'angle B; & aprés cela par le Corollaire de la Propofition précedente, l'on trouvera les angles du Triangle DEF, dont les fupplémens feront égaux aux côtez du Triangle ABC; c'eft-àdire, que le fupplément de l'angle D, fera égal au côté BC; le fuplément de l'angle E, fera égal au côté AC; & enfin le fupplément de l'angle F, fera égal au côté AB; & ainfi les trois côtez du Triangle ABC feront trouvez.

Voici quelques Questions Aftronomiques qui peuvent fervir à faire voir l'application que l'on peut faire de la Trigonometrie Spherique à l'Aftronomie. QUESTION I.

Etant connue l'obliquité de l'Eclyptique, & la distance
du Soleil au plus proche equinoxe, trouver
fa déclinaifon.

J Ev

E fuppofe que le colure des folftices convient Fig.37. avec le Méridien, en forte que ces deux Cercles foient reprefentez par le feul AEKB, paffant par les deux poles du monde K, 1; fi AB eft l'horifon & CD l'Equateur, l'arc BK, ou l'angle BRK fera la hauteur du pole, & l'arc AC, ou l'angle ARC fera l'élevation de l'Equateur,qui eft égale au complement de l'élevation du pole. Si EF eft l'Eclyptique, les deux points E, F, où elle coupe le colure, feront les points folftitiaux de & de b par où paffent les Tropiques EH, FG, qui donnent fur l'horifon AB, les plus grandes amplitudes

KL: & le point R où elle coupe l'Equateur CD, reprefentera les deux points équinoxiaux d'Y, & de. Enfin l'angle CRE qu'elle fait avec l'Equateur CD, ou l'arc CE, eft ce qu'on appelle plus grande obliquité de l'Eclyptique,ou plus grande déclinaifon du Soleil,qui eft à prefent d'environ 23.29.

Si l'on fuppofe que le Soleil foit au point Q de 'Eclyptique, en forte que fon parallele foit TV, & fon Cercle horaire foit KQI, fa déclinaison sera l'arc CT, fçavoir la distance de fon parallele à l'Equateur, qui eft auffi mefurée par l'arc SQ du Cercle horaire, terminé par le lieu du Soleil, & l'Equateur : & fa diftance au plus proche équinoxe,fera QR,fçavoir l'arc de l'Eclyptique, compris entre le lieu Q du Soleil, & le point Equinoxial R le plus proche.

Parce que dans le Triangle QRS, rectangle en S, on connoît l'angle oblique QRS, ou la plus grande déclinaifon du Soleil, & l'hypotenufe QR, ou la diftance du Soleil au plus proche équinoxe, on pourra connoître fa déclinaifon QS, en faifant cette Analogie.

Comme le Sinus total,

Au Sinus de la distance du Soleil au plus proche équinoxes

Ainfi le Sinus de la plus grande déclinaison du Soleil.

Au Sinus de fa déclinaifon particuliere.

Etant connue l'obliquité de l'Eclyptique, & la décli-
nafon du Soleil, trouver le lieu du Soleil
dans le Zodiaque.

I dans le même Triangle rectangle RSQ, on

fig-37. S connoit outre l'angle droit S, l'angle QRS,