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, qui montre

l'expression du quarré du demi diametre conjugué CD; & partant ÇD=Vap. Enfin dans lequation aa -- xx= my, aa exprime le quarré du demi diametre AC dont les parties CP sont nommées x; & partant AB = 2a. Mais pour avoir l'expression du demi diametre De conjugué au diametre AB, l'on fera m. n:: 29. 1. & par, tant vaa=CD, & 2Vaa = DE. Et pour avoir l'ex. presfion du parametre du diametre AB, l'on fera m. n:: 24. & cette quantité zam sera l'expresion cherchée.

Ć O R Ó L L A T R E IX.
F16.58. 13. Si l'on nomme AP, X; BP fera, aa—x, & l'on

aura (no. 5.) 2ax -— ** (AP x P.B). yy (PM):: ad
(AC). 66 (CD); donc 2ax - xx=
que lorsque les indéterminées n'ont paint leur origine
au centre de l’Ellipse, il se trouve des seconds termes
dans son équation, & qu'une équation locale appartien-
dra toujours à l'Ellipse, lorsqu'elle renfermera deux

quarrez inconnus, l'un desquels ou tous deux seront accompagnez de quelque quantité connue , & auront différens fignes dans les deux membres de l'équation , ou même signe dans le même membre, quelque mêlange de con, stantes qu'il s'y rencontre , & pourvu que les deux incon, nues ne soient point multipliées l'une par l'autre.

COROLLAIRE X.
14. SI dans l’équation à l’Ellipfe aa – XX=

aayen, a=b, l'on aura aa — xx = yy ou 2ax– xx=yy; qui est une équation au cercle , pourvû que les coordonnées * & y fassent un angle droit: car l'une & l'autre de ces deux équations donne A Px PB

PM qui est la principale propriété du cercle. D'où l'on voit aussi que l'équation à l'Ellipfe ne différe de celle du cercle , qu'en ce que l'un des quarrez inconnus est accompagné de quelque quantité connue dans l'équation

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2 ax

X.X =

à l’Ellipse , & qu'ils en sont tous deux délivrez dans l'é quation au cercle. En effet le cercle peut être regardé comme une Ellipse dont les foyers sont confondus avec le centre, & dont tous les diametres font par conséquent égaux entr'eux, & à leurs parametres.

Dans l'équation au cercle aa -+ ** =yy, les coordonnées ont leur origine au centre , & dans celle-ci, 2ax — *x =yy, l'origine des coordonnées n'est point au

centre.

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CC

13

yyad

Theorême. 15. Les mêmes choses que dans la premiére. Proposition F16.58. étant supposées. Je dis que l'appliquée FO au foyer Feft égale à la moitié du parametre de l'axe AB. Il faut prouver que FO={p.

13:11 D E' M O N S T R À TI O N. Si dans l'équation aa — xx= on fait x (CP) =c(CF), le point P tombera en F, & PM deviendra F0; & l'on aura' ad * rf

d'où l'on tire y (Prop. 1.6=(no. 6.) } p. C. & F.D. PROPOSITION II 1.

Problême. 16. L Es deux axes conjuguez AB, DE d'une Ellipse étant donnez, trouver les foyers F, & G.

Soit du centre D, extrêmité de l'axe conjugué DE; & du rayon AC, décrit un cercle qui coupera A B en deux points F & G qui seront les foyers qu'il faloit trouver

aa

- CC

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CC

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D E M o N S T & A T I o N.
Par la construction FD + DG=AB; donc ( no. 2.)
F & G sont les foyers. C. Q. F. D.
PROPOSITION IV.

Problême.
F16.58.17. L.E grand axe AB d'une Ellipse & les foyers F&G

étant donner, déterminer l'axe conjugué à l'axe A B.

Soit du foyer F pour centre & pour rayon le demi axe AC décrit un cercle. Il coupera la perpendiculaire à A B menée par le centre C en deux points D & E, & DE sera l'axe conjugué à l'axe A B.

D E'MONSTRATION.
Elle est la même que celle de la Proposition précéa
dente.
PROPOSITION V.

Theorême.
116.58. 18. Si l'on fait MQ perpendiculaire à D E. Je dis que le

reftangle des deux parties DQ, QE de l'axe D E faites par l'appliquée MQ, eft au quarré de MQ:comme D E' quarré de l'axe DE à AB quarré de l'axe A B.

En, laissant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a
donnez dans fa premiere Proposition, CP, ou QM étant
*; & PM, ou CRY; DQ sera, by; &QE,b+y.
Il faut démontrer que bb-yy, xx :: 466.4aa,

D E'MONSTRATION.
EN reprenant l'équation de la premiere Proposition aa

xx=, la multipliant par bb, la divisant par aa & transposant l'on aura bb - yy = blaten, d'où l'on tire cette

ܪ

analogie bb yy. xx :: bb. aa :: 466.4aa. De * QE. IM':: DE'. AB'. C. Q. F. D.

D E F INITION. 19. Si l'on fait 26, 2a :: 2a. 244 que je nomme p; la ligne p est appellée le parametre de l'axe DE.

COROLLA I R E. 20. b. a :: 2a. p, donne bp

= 2aa ,

ou bbp=2aab, ou = ; c'est pourquoi si on mer, en la place de ble dans l'équation précedente, l'on aura bb

yy — ou si l'on fait =, l'on aura bb - yy=i*.

On ajoutera à ce Corollaire les raisonnemens que l'on a faits no. 9, 10, 11, 12, 13 & 14.

26*x
P

ܕ

PROPOSITION V I.

Problême.

XX

21.

Une équation à l'Ellipse ab von étant donnée, décrire l'Elipse lorsque les coordonnées font un angle droit.

Soit premierement trouvé une moyenne proporcionnelle entre a,

& b qui soit f; & par conséquent ff = ab'; ainsi l'équation sera ff - xx=. On fait ce changement parceque ab étant l'expression du quarré du demi diametre dont les parties sont nommées x, cette expression doit aussi être un quarré.

Soit présentement c, l'origine des inconnues x, qui F 16.58. va vers A & vers B, & y, qui va vers D & vers E. Le même point C doit aussi être le centre de l'Ellipse , puisque les inconnues x & y n'ont point de second terme dans l'équation. Soit fait CA & CB chacune=f;

A B sera le grand axe, si c surpasse d ; le petit, li cest
moindre

que
d. Pour avoir l'axe conjugué à l'axe AB,

soit fait c. d :: ff. af, & soit prise CD & CE chacune
égale à Voff. Pour trouver CD=CE=Voff = n; il
faut chercher une moyenne proportionnelle entre c&d,
qui sera nommée 8: puis trouver à ces trois grandeurs c.
g. f. une quatrième proportionnelle qui sera n= V off
Car puisque c. g. d. sont en proportion continue, c. d ::
cc.88 ; mais ayant encore cogif.non aura ce.gg :: ff. nn.
donc c. d :: ff

. nn. = off. & par conséquent »=vdff;
DE sera (no, 12. ) l'axe cherché. Ayant ensuite trouvé
les foyers F & G par la troisième Proposition, on dém
crira l’Ellipse par la premiere.

D E' MONSTRATION.
Elie est évidente par ce que l'on a démontré no. 12.
Prop. 1. & 3.
PROPOSITION VII.

Problême.
F16.62. XIII. UN E Ellipse ADBE, dont AB eft le grand axe;

C, le centre ; F & G, les foyers, étant donnée. Il faut d'un
point quelconque M donné

sur l'Ellipse mener la tangente MT.
Ayant mené FM, & GM , prolongé FM, en 1, en
sorte que M[= MG, & mené G I. Je dis que la ligne
MO menée du point M par le point o milieu de GI lera
la tangente cherchée.

D E'MONSTRATION.
D'UẢ point quelconque L autre que M pris fur Mo,
ayant mené les droites LF , LG, LI; puisque par la con-
struction MG=MI,&10=OG, MO sera perpendi-
culaire à GI; c'est pourquoi le triangle GLI sera isoscele;
& partane FL + LIELF + LG surpasse FM + MÍ

FM + MG; donc le point I est hors de l'Ellipse.
C. Q. F. D.

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