exemple, fi l'on veut démontrer quelque proprieté qui convienne à trois grandeurs differentes A, B, C; ayant nommé A, a, au lieu de nommer B, b; & C, c;'on peut nommer B, ma, (m signifie multiple, ou foùmultiple) ou a±p; & C, na (n fignifie multiple, ou foumultiple, different de m), ou apr, en fe fervant du figne+ou—, felon que les quantitez qu'on veut exprimer, font moindres, ou plus grandes que celle qui eft exprimée par la premiere lettre a. Ce qu'on dira dans la fuite des raports & des proportions, fe doit entendre des raports & proportions geometriques, à moins qu'on n'avertiffe que c'eft des raports & proportions arithmetiques qu'on veut parler. A THEOREME I. 29. ST I quatre grandeurs a, b, c, d, font en proportion geometrique, le produit des extrêmes fera égal au produit des moyens. Il faut prouver que fi a. bc. d, l'on aura ad=bc. L'on a par l'Hypothese a. b:: c. d; donc ( no. 11.) b = d : or il est clair (Axio. 1. Coroll. 4.) qu'en ôtant les fractions, on aura ad bc, qui est semblable à la Confequence. C. Q. F. D. = 30. On prouvera de même que dans une proportion continue le produit des extrêmes est égal au quarré de la moyenne. Ainfi fi a. b:: b. c, l'on aura ac="bb. Ce Theorême fournit un autre moyen dont nous nous fervirons dans la fuite, de changer une proportion en équation. COROLLAIRE S. b,c, d'une er.IL fuit que connoiffant trois des termes a,b, proportion, on pourra toujours trouver le 4o que je nommex: car puifque (Hyp.) a. b:: c. x, l'on aura (no. 29.) ax = bc; donc en divifant toute cette équation par a, bc l'on aura x= d'où l'on voit que la valeur de be divi a fée par la valeur de a, donnera celle de x. 2o. De même dans la proportion continue, connoiffant les extrêmes a & b, on trouvera la moyenne que je nomme y; car puifque (Hyp.) a. yy.b, l'on aura yyab; & partant (Axio. 2.) y=Vab; c'est pourquoi la racine de la valeur de ab fera la valeur de y. Les valeurs negatives ne fatisfont point aux Problêmes. On en expliquera l'usage ailleurs, Λ THE ORE ME I I. 31. LES racines des produits qui forment chaque membre d'une équation font reciproquement proportionnelles, c'est-àdire qu'en prenant les racines d'un des membres pour les extrêmes, & les racines de l'autre pour les moyens, ces quatre racines formeront une proportion. Soit l'équation abc=dfg. Il faut prouver que ab. df :: ab df g.c, ou afin que la confequence foit en équation g car l'équation ne peut être vraye que la proportion ne le foit auffi. En divifant toute l'équation abcdfg, par ge, l'on jer. ON peut tirer de la même équation abc= = dfg plu fieurs autres proportions, & les démontrer de la même maniere, pourvû qu'on prenne les extrêmes dans un membre, & les moyens dans l'autre, & qu'on garde la Loi des Homogenes, c'est-à-dire que les termes de chaque raport ayent un pareil nombre de dimensions: par exemple, on en peut tirer a. d:: fg. bc; b.f::dg. ac, &c. mais quoiqu'on le puiffe, on n'en doit pas tirer a. df :: g. bc: car on compareroit des quantitez de differens genres, comme une ligne avec un plan. Il en est ainfi des autres. 2e. Il eft clair qu'afin qu'une équation puisse être ré duite en proportion, il faut que chaque membre foft le produit de deux quantitez qui fe puiffe féparer par la division; c'est c'eft pourquoi il eft fouvent neceffaire de la changer d'état pour la réduire en proportion. Par exemple, on ne peut réduire cette équation xx = ax+bb en proportion dans l'état où elle eft : car le fecond membre ne peut être divifé par aucune quantité: mais en transposant, l'on a xx-ax=bb, d'où l'on peut tirer x. b:: b.x-a. De celle-ci xx aa bb, on peut tirer a-b. x :: x.a+b. De celle-ci xx=aa+bb, ou xx — aa=bb, on peut tirer x — a . b :: b . x +a. Mais pour changer celle-ci xx=aa bc en proportion; il faut changer be en un quarré, ou aa en un rectangle dont un côté foit b, ou c; faifant donc, par exemple, bc= dd, l'on aura xx=aa tire a-d.x :: x.a+d. Il en eft ainfi des autres. dd, d'où l'on ab C 3. Il fuit auffi qu'un raport ou une fraction comme eft un des termes d'une proportion, & renferme les trois autres car faisant =x, l'on aura en multipliant par ab c, ab= cx ; donc (no. 31.) c. a :: b. x, ou c. a :: b. C 4o. Il fuit auffi des deux Theorêmes précedens que fi quatre grandeurs a, b, c, d, font proportionnelles, c'està-dire que a. b:: c. d, elles feront auffi proportionnelles dans les quatre variations fuivantes. 1. a. cb. d, ce qu'on appelle, permutando. 2. b. a: d. c, ce qu'on appelle, invertendo. 3. a+b.b :: c+d.d, ce qu'on appelle, componendo. 4. a — b. b:: cd. d, ce qu'on appelle, dividendo. Car fi les équations que l'on tirera (n°. 29.) de ces quatre analogies font vrayes, les analogies le feront auffi. Or la premiere & la feconde analogie donnent ad= bc, la troifiéme donne ad + bd = bc + bd, & la quatriéme ad -bdbc-bd: mais l'Hypothese a. b:: c.d,donne ad=bc, qui qui eft la premiere équation, & qui montre par confequent la verité des deux premieres analogies. Si l'on ajoute, & fi l'on fouftrait bd de chaque membre de l'équation ad=be tirez de l'Hypothese, l'on aura ad +bd=bc+bd, & ad — bd = bc — bd, qui font femblables aux deux dernieres équations tirées des deux dernieres ana·logies, & qui en font par confequent voir la verité. Il y a encore d'autres variations dans les proportions l'on démontrera avec la même facilité. que 32. SI deux grandeurs quelconques a &b, font multipliées par une mème grandeur C, rationnelle, ou irrationnelle, les produits ac & bc, feront en même raison que les mêmes quantitez a & b. la con Il faut prouver que ac. bc:: a. b, ou, afin que fequence foit en équation, que (no. 29.) abc=abc. Parceque les deux membres de cette équation font femblables, il fuit (no. 29, & 3 1.) que ce qui étoit propofé eft vrai. COROLLAIRES. rer. IL eft clair qu'on peut multiplier les quatre termes d'une proportion, ou l'un ou l'autre des deux raports qui la forment, ou les deux antecedens, ou les deux confequens de ces raports, par telle quantité qu'on voudra, fans que ces raports ceffent d'être égaux. 2. Et parceque les raports, ou les divifions indiquées font des fractions, il fuit qu'on peut multiplier les deux termes d'une fraction par telle quantité qu'on voudra, fans que cette fraction change de valeur. Ainfi b en multipliant les deux termes par c. ac bc 3. Une quantité quelconque, qui n'est point fractionnaire devient une fraction étant comparée à l'unité; ce qui n'y change rien, c'eft pourquoi toute quantité qui n'eft point fractionnaire, peut être changée en une fraction, dont le dénominateur fera telle quantité qu'on voudra. Ainfi a ou a I ab b en multipliant chaque terme par b. 4. Il fuit auffi qu'on peut donner à des fractions des dénominateurs femblables, lorfqu'elles en ont de differens, ce qu'on appelle réduire les fractions à mème dénomination: car pour cela, il n'y a qu'à multiplier les deux termes de chacune par le dénominateur de l'autre, s'il n'y en a que deux. Ainfi pour réduire à même dénomina ab df tion & , ayant multiplié les deux termes de la pre miere cdf g par g, & ceux de la feconde par c, l'on aura abg cg &S'il y en a un plus grand nombre, on multipliera les cg deux termes de chacune par le produit des dénominateurs des autres. Ainfi pour réduire a b d' f' & F's en même déno. mination; ayant multiplié les deux termes de la premiere par fg, ceux de la feconde par dg, & ceux de la troifiême afg bdg cdf Il se trouve souvent des fractions que l'on peut réduire à même dénomination, fans les changer toutes d'expression. abb gh Ainfi & feront réduites en même dénomination, cd en multipliant les deux termes de la feconde par d: car 5o. Il fuit encore que c'est la même chofe de diviser le dénominateur d'une fraction, par une quantité quelconque, ou de multiplier fon numerateur par la même quan |